解答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f'(x)＞0，f(a)＞0，试证：对于如图所示的两个面积函数A(x)和B(x)，存在唯一的ξ∈(a，b)，
使得
使得
【正确答案】
【答案解析】[证]
F'(x)=f'(x)(x-a)+1994f'(x)(b-x)＞0(因为f'(x)＞0)，可知F(x)在(a，b)内单调增加，故F(x)在(a，b)内至多有一个零点．
又因为f'(x)＞0，f(x)单调递增，
所以
由闭区间上连续函数的零值定理可知F(x)在(a，b)内至少有一个零点．
综上所述，可知F(x)在(a，b)内有唯一的零点ξ，使得F(ξ)=0，即
F'(x)=f'(x)(x-a)+1994f'(x)(b-x)＞0(因为f'(x)＞0)，可知F(x)在(a，b)内单调增加，故F(x)在(a，b)内至多有一个零点．
又因为f'(x)＞0，f(x)单调递增，
所以
由闭区间上连续函数的零值定理可知F(x)在(a，b)内至少有一个零点．
综上所述，可知F(x)在(a，b)内有唯一的零点ξ，使得F(ξ)=0，即