设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．
【正确答案】正确答案：用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，由已知条件得X，Y的密度为f
X
(x)=
． 当t≤0时，F
T
(t)=0；当t＞0时， F
T
(t)=P(X+Y≤t)=
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy =25∫
0
t
e
－5x
dx∫
0
t－x
e
－5y
dy =5∫
0
t
e
－5x
[1一e
－5(t－x)
]dx =5∫
0
t
(e
－5x
一e
－5t
)dx=(1一e
－5t
)一5te
－5t
T的密度函数为f(t)=
． 当t≤0时，F
T
(t)=0；当t＞0时， F
T
(t)=P(X+Y≤t)=
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy =25∫
0
t
e
－5x
dx∫
0
t－x
e
－5y
dy =5∫
0
t
e
－5x
[1一e
－5(t－x)
]dx =5∫
0
t
(e
－5x
一e
－5t
)dx=(1一e
－5t
)一5te
－5t
T的密度函数为f(t)=
【答案解析】