问答题
设f(x)在[0，2]内二阶连续可导，且f(1)=0，证明：
问答题
【正确答案】这里用二阶导数来表示定积分值，一个自然的想法是用分部积分法，按要证的结论，也为了利用条件f(1)=0，先将[0，2]上的积分表成[0，1]上的积分与[1，2]上的积分之和。
[*]
【答案解析】
问答题
其中ξ在1与x之间；
【正确答案】函数与其二阶导数之间的关系可用一阶泰勒公式来描述，因此，另一自然的想法是用泰勒公式，由于题中给出条件f(1)=0，我们考虑f(x)在x=1处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，即
[*]
其中ξ在1与x之间，于是
[*]
【答案解析】
问答题
，其中
【正确答案】用题(1)的结论，有
[*]
或用题(2)的结论，有
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【答案解析】[*]
问答题
求微分方程
【正确答案】(1) 令xy=u，即[*]于是[*]代入题设方程有
[*]
解得[*]这是可分离变量方程。
(2) 由于y(1+x2y2)dx=xdy可改写为[*]，与(Ⅰ)中方程比较有f(xy)=1+x2y2，令u=xy即得f(u)=1+u2，再利用(Ⅰ)，方程可化为[*]求积分有
[*]
由此解得[*]其中C是任意常数。
[*]
解得[*]这是可分离变量方程。
(2) 由于y(1+x2y2)dx=xdy可改写为[*]，与(Ⅰ)中方程比较有f(xy)=1+x2y2，令u=xy即得f(u)=1+u2，再利用(Ⅰ)，方程可化为[*]求积分有
[*]
由此解得[*]其中C是任意常数。
【答案解析】