(I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设
【正确答案】正确答案：(I)设A，B的特征值为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
. 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P
1
，P
2
，使得
于是P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
，或(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
)=B，令P=P
1
P
2
-1
，则P
-1
AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由|λE—A|=
=(λ+1)(λ一1)
2
=0得λ
1
=一1，λ
2
=λ
3
=1；由|λE—B|=
=(λ+1)(λ一1)
2
=0得μ
1
=一1，μ
2
=μ
3
=1．
于是P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
，或(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
)=B，令P=P
1
P
2
-1
，则P
-1
AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由|λE—A|=
=(λ+1)(λ一1)
2
=0得λ
1
=一1，λ
2
=λ
3
=1；由|λE—B|=
=(λ+1)(λ一1)
2
=0得μ
1
=一1，μ
2
=μ
3
=1．
【答案解析】