【正确答案】证 必要性 设存在酉矩阵Q，使得Q^-1AQ=Q^HAQ=D为对角矩阵，则A=QDQ^H，于是有AA^H=QDQ^HQD^HQ^H=QD(Q^HQ)D^HQ^H，因为Q^HQ=E，所以有AA^H=QDD^HQ^H.同理可证A^HA=QD^HDQ^H.因D是对角矩阵，有DD^H=D^HD，所以AA^H=A^HA，即A为正规矩阵.
   充分性 设A是正规矩阵.由舒尔定理，存在酉矩阵Q，使得Q^-1AQ=Q^HAQ=B为上三角矩阵，于是BB^H=Q^HAQQ^HA^HQ=Q^HA(QQ^H)A^HQ，由于QQ^H=E，得BB^H=Q^HAA^HQ.同理可得B^HB=Q^HA^HAQ，因AA^H=AHA，得BB^H=B^HB，即上三角矩阵B为正规矩阵，再由4-30题即知B=Q^-1AQ=Q^HAQ为对角矩阵.

【答案解析】由正规矩阵的定义(满足AA^H=A^HA的复方阵A称为正规矩阵)，知酉矩阵(正交矩阵)、厄米特矩阵(实对称矩阵)、反厄米特矩阵(实反对称矩阵)都是正规矩阵，因此由本题结论可知对上述矩阵中的任何矩阵A，必存在酉矩阵Q，使得Q^-1AQ=Q^HAQ为对角矩阵.特别地，对任何实对称矩阵A，必存在正交矩阵P，使得P^-1AP=P^TAP为对角矩阵.