解答题
17.设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：
【正确答案】
等价于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ，
等价于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy，
或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0
令I＝∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy，
根据对称性，I＝∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy，
2I＝∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy，
因为f(χ)＞0且单调减少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，
所以
等价于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ，
等价于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy，
或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0
令I＝∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy，
根据对称性，I＝∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy，
2I＝∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy，
因为f(χ)＞0且单调减少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，
所以
【答案解析】