【答案解析】[证明] 由A ² -2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0，则
r(E+A)+r(3E-A)≤n；
由r(E+A)+r(3E-A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n．
(1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵；
(2)当r(3E-A)=n时，为对角矩阵；
(3)r(E+A)＜n，r(3E-A)＜n，则|E+A|=0，|3E-A|=0，
A的特征值λ ₁ =-1，λ ₂ =3.
λ ₁ =-1对应的线性无关的特征向量个数为n-r(-E-A)=n-r(E+A)；
λ ₂ =3对应的线性无关的特征向量个数为n-r(3E-A)．
因为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以A可相似对角化．