填空题
3.设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．
- 1、
【正确答案】
1、2
【答案解析】【解法1】利用配方法化二次型为标准形．
f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22－(x22－2x2x3)
=(x1+x2)2－(x2－x3)2+x32=y12－y22+y32，
其中y1=x1+x2，y2=x2－x3，y3=x3，即
由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．
【解法2】 利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值个数．
由于二次型f的矩阵为
A的特征多项式为
且f(0)=1＞0，f(1)=－1＜0，
f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22－(x22－2x2x3)
=(x1+x2)2－(x2－x3)2+x32=y12－y22+y32，
其中y1=x1+x2，y2=x2－x3，y3=x3，即
由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．
【解法2】 利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值个数．
由于二次型f的矩阵为
A的特征多项式为且f(0)=1＞0，f(1)=－1＜0，