计算题
15.设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且同分布，
Xi～
，i=1，2，3，4，
求行列式X=
Xi～
，i=1，2，3，4，求行列式X=
【正确答案】解法1引入中间变量，分层处理．记Y1=X1X4，Y2=X2X3，易见，Y1，Y2独立同分布．由Y1=0，1，则
P{Y1=1}=P{X1=1，X4=1}=P{X1=1}P{X4=1}=0．16，
P{Y1=0}=1－P{Y1=1}=0．84，
即有
又X=Y1－Y2=－1，0，1，则
P{X=－1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{Y1=0}P{Y2=1}=0．84×0．16=0．1344，
P{X=1}=P{Y1=1，Y2=0}=P{Y1=1}P{Y2=0}=0．84×0．16=0．1344，
P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X－1}=1－2×0．1344=0．7312．
所以行列式的概率分布为
解法2直接利用计算离散型随机变量概率分布的三步法．
由于X1，X2，X3，X4相互独立且同服从0—1分布，易知X=－1，0，1，且
P{X=－1}=P{X=1}，
P{X=－1}=P{{{X1=0}∪{X4=0}}∩{{X2=1}∩{X3=1}}}
=P{{X1=0}∪{X4=0}}P{X2=1}P{X3=1}
=(1－0．4×0．4)×0．4×0．4=0．1344，
P{X=1}=P{X=－1}=0．1344，
P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X=1}=0．7312．
所以行列式X的概率分布为
P{Y1=1}=P{X1=1，X4=1}=P{X1=1}P{X4=1}=0．16，
P{Y1=0}=1－P{Y1=1}=0．84，
即有
又X=Y1－Y2=－1，0，1，则
P{X=－1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{Y1=0}P{Y2=1}=0．84×0．16=0．1344，
P{X=1}=P{Y1=1，Y2=0}=P{Y1=1}P{Y2=0}=0．84×0．16=0．1344，
P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X－1}=1－2×0．1344=0．7312．
所以行列式的概率分布为
解法2直接利用计算离散型随机变量概率分布的三步法．
由于X1，X2，X3，X4相互独立且同服从0—1分布，易知X=－1，0，1，且
P{X=－1}=P{X=1}，
P{X=－1}=P{{{X1=0}∪{X4=0}}∩{{X2=1}∩{X3=1}}}
=P{{X1=0}∪{X4=0}}P{X2=1}P{X3=1}
=(1－0．4×0．4)×0．4×0．4=0．1344，
P{X=1}=P{X=－1}=0．1344，
P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X=1}=0．7312．
所以行列式X的概率分布为
【答案解析】本题中，X是由4个随机变量X1，X2，X3，X4的运算式组成，如果直接套用一般的计算模式，即解法2，就显得较为繁琐．解法1所采用的是根据X1，X2，X3，X4运算的层次结构，引进中间变量Y1=X1X4，Y2=X2X3，将运算分为先求出Y1，Y2的分布，再求X=Y1－Y2的分布两个步骤，看似复杂，但实际更为简便．其中用到了X1，X2，X3，X4独立同分布，则Y1，Y2也独立同分布的性质．