问答题
问答题
证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间([*]，1)内有且仅有一个实根；
【正确答案】令fn(x)=x"+xn-1+…+x-1，则f(1)=n-1＞0，
又fn(x)在[，1]上连续，由连续函数的零点存在性定理知，fn(x)在区间(，1)内至少存在一个零点．
又f'n(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+2x+1＞0(＜x＜1)
故fn(x)在[，1]上单调递增，所以fn(x)在区间(，1)内只存在一个零点．
即方程x"+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
又fn(x)在[
，1]上连续，由连续函数的零点存在性定理知，fn(x)在区间(，1)内至少存在一个零点．又f'n(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+2x+1＞0(
＜x＜1)故fn(x)在[
，1]上单调递增，所以fn(x)在区间(，1)内只存在一个零点．即方程x"+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
【答案解析】
问答题
中的实根为xn，证明[*]存在，并求此极限．
【正确答案】由fn+1(x)=xn+1+fn(x)
又因为xn为fn(x)的实根，即fn(xn)=0．故
fn+1(xn)=xnn+1＞0
又 fn+1()＜0
所以fn+1(x)在(，xn)内有唯一零点，记为xn+1，则有＜xn+1＜xn．
即数列{xn}单调下降且有下界，故由单调有界定理可知，极限存在．
不妨设
，由xnn+xnn-1+…+xn=1，即
．
等式两边同时取极限，可得
，即
．
即
又因为xn为fn(x)的实根，即fn(xn)=0．故
fn+1(xn)=xnn+1＞0
又 fn+1(
)＜0所以fn+1(x)在(
，xn)内有唯一零点，记为xn+1，则有＜xn+1＜xn．即数列{xn}单调下降且有下界，故由单调有界定理可知，极限存在．
不妨设
，由xnn+xnn-1+…+xn=1，即．等式两边同时取极限，可得
，即．即
【答案解析】