问答题
已知A是n阶实对称矩阵，满足A
2
-3A+2E=O，且B=A
2
-2A+3E.
问答题
求B
-1
；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设A
2
-3A+2E=O，
得A 2 =3A-2E．代入B，得
B=A 2 -2A+3E=3A-2E-2A+3E=A+E．
又A 2 -3A+2E=(A+E)(A-4E)+6E=O，
即
得B=A+E可逆，且
得A 2 =3A-2E．代入B，得
B=A 2 -2A+3E=3A-2E-2A+3E=A+E．
又A 2 -3A+2E=(A+E)(A-4E)+6E=O，
即
得B=A+E可逆，且
问答题
证明：B正定．
【正确答案】
【答案解析】[证] B
T
=(A
2
-2A+3E)
T
=B，B是实对称矩阵，
A 2 -3A+2E=O两边右乘A的特征向量ξ，得(λ 2 -3λ+2)ξ=0，又ξ≠0，则λ=1或2．故A的特征值只能取值为1或2．B=A+E的特征值只能取值为2或3，均大于零，故B正定．
或B=A 2 -2A+3E=(A-E) 2 +2E，由正定矩阵的定义即得B正定．
A 2 -3A+2E=O两边右乘A的特征向量ξ，得(λ 2 -3λ+2)ξ=0，又ξ≠0，则λ=1或2．故A的特征值只能取值为1或2．B=A+E的特征值只能取值为2或3，均大于零，故B正定．
或B=A 2 -2A+3E=(A-E) 2 +2E，由正定矩阵的定义即得B正定．