【正确答案】证：当A可逆时，因A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．

【正确答案】证：思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征 值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即 (AB)α=λα，α≠0． (*) 式(*)左乘B，得B(AB)α=λB α(BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由式(*)(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值． 思路二：AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则 则当λ≠0时，AB和BA有相同的特征值．

【正确答案】解：因为arcsinx～x，