解答题
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=p，P{X=1}=1—p，(0＜p＜1)，令Z=XY．
问答题
8.求Z的概率密度．
【正确答案】fX(x)=
FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y= —1}+P{XY≤z，Y=1}
=P{X≥—z，Y= —1}+P{X≤z，Y=1}
=p[1—FX(—z)]+(1—p)FX(z)．
则fZ(z)=F′Z(z)=pfX(—z)+(1—p)fX(z)．
又fX(z)=
，
故fZ(z)=
FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y= —1}+P{XY≤z，Y=1}
=P{X≥—z，Y= —1}+P{X≤z，Y=1}
=p[1—FX(—z)]+(1—p)FX(z)．
则fZ(z)=F′Z(z)=pfX(—z)+(1—p)fX(z)．
又fX(z)=
，故fZ(z)=
【答案解析】
问答题
9.p为何值时，X与Y不相关?
【正确答案】X和Z不相关，则ρ=0，即Cov(X，Z)=0，得到E(XZ)=E(X)E(Z)．
E(Y)=1—2p，E(Z)=E(XY)=E(X).E(Y)=1—2p，
E(X)=1，E(X2)=D(X)+(EX)2=1+1=2，
E(XZ)=E(X2Y)=E(X)2.E(Y)=2(1—2p)，
由E(XZ)=E(X).E(Z)得2(1—2p)=1—2p，解得：p=
E(Y)=1—2p，E(Z)=E(XY)=E(X).E(Y)=1—2p，
E(X)=1，E(X2)=D(X)+(EX)2=1+1=2，
E(XZ)=E(X2Y)=E(X)2.E(Y)=2(1—2p)，
由E(XZ)=E(X).E(Z)得2(1—2p)=1—2p，解得：p=
【答案解析】
问答题
10.X与Z是否相互独立?
【正确答案】A={X＞1}，B={Z＜1}，
P(AB)=P{X＞1，XY＜1}=
=P{X＞1，Y= —1}
=∫1+∞e—xdx.
，
P(A)=∫1+∞e—xdx=e—1，
P(B)=P{XY＜1}=P{XY＜1，Y= —1}+P{XY＜1，Y=1}
=P{X＞—1，Y= —1}+P{X＜1，Y=1}=
P(AB)=P{X＞1，XY＜1}=
=P{X＞1，Y= —1}=∫1+∞e—xdx.
，P(A)=∫1+∞e—xdx=e—1，
P(B)=P{XY＜1}=P{XY＜1，Y= —1}+P{XY＜1，Y=1}
=P{X＞—1，Y= —1}+P{X＜1，Y=1}=
【答案解析】