解答题
18.设甲袋中有2个白球，乙袋中有2个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换3次，求甲袋中白球数X的数学期望．
【正确答案】设Ai={第二次交换后甲袋有i个白球}，i=0，1，2．由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故
又设{X=k}表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1，2．则
P{X =0|A0}=0， P{X=0|A1} =
，P{X =0|A2}=0，
P{X =1|A0}=1， P{X=1|A1} =
，P{X =1|A2}=1，
P{X =2|A0}=0， P{X=2|A1} =
，P{X =2|A2}=0，
所以 P{X=0} =P{X=0|A1}P(A1) =
P{X =1}=P{X=1|A0}P(A0)—P{X =1|A1}P(A1)+P{X=1|A2}P(A2)
P{X=2}=P{X=2|A1}．P(A1)=
故X的概分布为
又设{X=k}表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1，2．则
P{X =0|A0}=0， P{X=0|A1} =
，P{X =0|A2}=0，P{X =1|A0}=1， P{X=1|A1} =
，P{X =1|A2}=1，P{X =2|A0}=0， P{X=2|A1} =
，P{X =2|A2}=0，所以 P{X=0} =P{X=0|A1}P(A1) =
P{X =1}=P{X=1|A0}P(A0)—P{X =1|A1}P(A1)+P{X=1|A2}P(A2)
P{X=2}=P{X=2|A1}．P(A1)=
故X的概分布为
【答案解析】为求数学期望应先求出甲袋白球数X的概率分布．经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论．