设n阶矩阵A＝
【正确答案】正确答案：如果b＝0，则A＝E，特征值为1(n重)，并且任何n维非零向量都是特征向量．A本身就是对角矩阵，对任一n阶可逆矩阵P，均有P
-1
AP＝E，下面讨论b≠0的情形． (1)①求特征值 可以求A的特征多项式，再求根得到特征值，但是这个矩阵可更加简单的计算特征值． 记C是每个元素都是b的n阶矩阵，则A＝C＋(1－b)E．C的秩为1，其特征值为0，0，…，0，nb．于是A的特征值为：1－b，1－b，…，1－b，(n－1)b＋1． ②求A的特征向量 属于特征值1－6的特征向量是[A－(1－b)E]X＝0(即CX＝0)的非零解．易见 η
1
＝(1，－1，0，…，0)
T
，η
2
＝(1，0，－1，…，0)
T
，…，η
n-1
＝(1，0，…，0，－1)
T
， 是CX＝0的基础解系．得属于1－b的特征向量： c
1
η
1
＋c
2
η
2
＋…＋c
n-1
η
n-1
，c
1
，c
2
，…，c
n-1
不全为0． 属于特征值(n－1)b＋l的特征向量是{A－[(n－1)b＋1]E}X＝0的非零解．求得一个非零解η＝(1，1，1，…，1)
T
，它构成基础解系，属于(n－1)b＋1的特征向量为 cη，c≠0． (2)令P＝(η
1
，η
2
，…，η
n-1
，η)，则P是可逆矩阵，并且
【答案解析】