问答题
已知电路如图所示，电路未加激励的初始条件为：
(1)i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s；(2)i 1 (0)=1A，i 2 (0)=2A。
求上述两种情况下电流i 1 (t)及i 2 (t)的零输入响应。
(1)i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s；(2)i 1 (0)=1A，i 2 (0)=2A。
求上述两种情况下电流i 1 (t)及i 2 (t)的零输入响应。
【正确答案】
【答案解析】解 由图所示电路可列出关于i
1
(t)及i
2
(t)与激励e(t)之间满足的方程
解之得
由此可知系统的特征根为-1和-3，故零输入响应形式为
i 1zi (t)=c 1 e -t +c 2 e -3t ，t＞0 ①
i 2zi (t)=c 3 e -t +c 4 e -3t ，t＞0 ②
(1)将初始条件i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s代入①式，有
所以
为求常数c 3 、c 4 ，需先求出初始条件i 2 (0)和i" 2 (0)。为此令t=0及e(0)=0，并将初始条件i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s代入系统方程组
将i 1 (0)=2，i" 1 (0)=1代入上式，可得i 2 (0)=5，i" 2 (0)=-8，再将此解代入②式，有
所以
(2)为求i 1zi (t)，i 2zi (t)，需先求出i" 1 (0)，i" 2 (0)。为此令t=0及e(0)=0，并将初始条件i 1 (0)=1A，i 2 (0)=2A代入系统方程组，得
再将i 1 (0)=1，i" 1 (0)=0及i 2 (0)=2，i" 2 (0)=-3分别代入①式和②式，有
及
故有
解之得
由此可知系统的特征根为-1和-3，故零输入响应形式为
i 1zi (t)=c 1 e -t +c 2 e -3t ，t＞0 ①
i 2zi (t)=c 3 e -t +c 4 e -3t ，t＞0 ②
(1)将初始条件i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s代入①式，有
所以
为求常数c 3 、c 4 ，需先求出初始条件i 2 (0)和i" 2 (0)。为此令t=0及e(0)=0，并将初始条件i 1 (0)=2A，i" 1 (0)=1A/s代入系统方程组
将i 1 (0)=2，i" 1 (0)=1代入上式，可得i 2 (0)=5，i" 2 (0)=-8，再将此解代入②式，有
所以
(2)为求i 1zi (t)，i 2zi (t)，需先求出i" 1 (0)，i" 2 (0)。为此令t=0及e(0)=0，并将初始条件i 1 (0)=1A，i 2 (0)=2A代入系统方程组，得
再将i 1 (0)=1，i" 1 (0)=0及i 2 (0)=2，i" 2 (0)=-3分别代入①式和②式，有
及
故有