解答题
设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设A的一个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0，5，32，所以
(A*)2的三个特征值为4，9，36．于是A*的三个特征值为2，3，6．
又因为|A*|=36=|A|3-1，所以|A|=6．
由
得λ1=3，λ2=2，λ3=1，
由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为
(A*)2的三个特征值为4，9，36．于是A*的三个特征值为2，3，6．
又因为|A*|=36=|A|3-1，所以|A|=6．
由
得λ1=3，λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为