填空题
设y=y(x)是由方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1确定的，则y=y(x)的极值点是 1．
【正确答案】
【答案解析】x=1
[解析] 将方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1两边对x求导，得
6y 2 y"-4yy"+2y+2xy"-2x=0
整理得y"(3y 2 -2y+x)=x-y ①
令y"=0，有x=y，将其代人2y 3 -2y 2 +2xy-x 3 =1得2x 3 -x 2 -1=(x 3 -1)+(x 3 -x 2 )=0，即(x-1)(2x 2 +x+1)=0于是x=1是唯一的驻点．此时，y=x=1
对①求导y"(3y 2 -2y+x)+y"(3y 2 -2y+x)" x =1-y"
把x=1，y=1，y"(1)=0代入上式，得
6y 2 y"-4yy"+2y+2xy"-2x=0
整理得y"(3y 2 -2y+x)=x-y ①
令y"=0，有x=y，将其代人2y 3 -2y 2 +2xy-x 3 =1得2x 3 -x 2 -1=(x 3 -1)+(x 3 -x 2 )=0，即(x-1)(2x 2 +x+1)=0于是x=1是唯一的驻点．此时，y=x=1
对①求导y"(3y 2 -2y+x)+y"(3y 2 -2y+x)" x =1-y"
把x=1，y=1，y"(1)=0代入上式，得