【正确答案】分析积分曲线的几何特点，可知积分曲线是圆柱面与平面之交线，因此可将曲线写成参数方程形式，取极角θ为参数,这样可将原曲线积分化为对参数θ的定积分．令x=cosθ，y=sinθ，则z=2一cosθ+sinθ(0≤θ≤π)．于是此外，曲线C封闭，可利用Stokes公式将其化为第二型曲面积分，同样可得结果．
解析二用斯托克斯公式计算，设∑为平面x一y+z=2的下侧被曲线C所围成的部分，D_xy={(x，y｜x²+y²≤1}为∑在xoy平面上的投影区域，则有
解析三将空间曲线积分化为平面曲线积分．曲线C在xy平面上的投影曲线是C^'=x²+y²=1，z=0，取顺时针方向．由曲线方程得z=2一x+y，dz=一dx+dy，将其代入被积表达式得原积分=∮_C^'(2一x)dx+(2x一2一y)dy+(x一y)(一dx+dy)