解答题
12.
设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵，证明：B
T
AB正定的充分必要条件是r(B)=n.
【正确答案】
因为（B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,所以B
T
AB为正定矩阵，
设B
T
AB为正定矩阵，则对任意的X≠0.
X
T
B
T
ABX=(BX)
T
A(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n.
反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，
因为A为正定矩阵，所以X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)＞0,所以B
T
AB为正定矩阵。
【答案解析】
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