解答题
[2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且
问答题
9.求A的所有特征值与特征向量；
【正确答案】因A的秩为2，A又为实对称矩阵，故A可相似对角化，且其非零特征值，即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个．因而0为A的一个特征值，由题设可得
A[1，0，一1]T=一[一1，0，1]T， A[1，0，1]=[1，0，1]T．
故λ1=一1是A的一个特征值，且属于一1的所有特征向量为
k1α1=k1[1，0，一1]T，其中k1为任意非零常数；
λ2=1也是A的一个特征值，且属于λ2=1的所有特征向量为
k2α2=k2[1，0，1]T，其中k2为任意非零常数．
设[x1，x2，x3]T为A的属于特征值0的特征向量．由于A为实对称矩阵，则
即 
由 
A[1，0，一1]T=一[一1，0，1]T， A[1，0，1]=[1，0，1]T．
故λ1=一1是A的一个特征值，且属于一1的所有特征向量为
k1α1=k1[1，0，一1]T，其中k1为任意非零常数；
λ2=1也是A的一个特征值，且属于λ2=1的所有特征向量为
k2α2=k2[1，0，1]T，其中k2为任意非零常数．
设[x1，x2，x3]T为A的属于特征值0的特征向量．由于A为实对称矩阵，则
即 由 【答案解析】
问答题
10.求矩阵A．
【正确答案】由A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1，α2，0)得到
A=(一α1，α32，0)(α1，α0，α3)-1=
A=(一α1，α32，0)(α1，α0，α3)-1=
【答案解析】