设α，β均为三维单位列向量，并且α
T
β=0，若A=αα
T
+ββ
T
，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与A相似，写出对角矩阵A．
【正确答案】正确答案：因为α，β为单位向量，且α
T
β=0，故
的秩为2，从而有x≠0，使
即α
T
x=0，β
T
x=0，于是有Ax=(αα
T
+ββ
T
)x=αα
T
x=ββ
T
x=0． 又Aα=(αα
T
+ββ
T
)α=αα
T
α+ββ
T
α=α，Aβ=(αα
T
+ββ
T
)β=αα
T
β+ββ
T
β=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵JP=(α，β，x)，使
的秩为2，从而有x≠0，使
即α
T
x=0，β
T
x=0，于是有Ax=(αα
T
+ββ
T
)x=αα
T
x=ββ
T
x=0． 又Aα=(αα
T
+ββ
T
)α=αα
T
α+ββ
T
α=α，Aβ=(αα
T
+ββ
T
)β=αα
T
β+ββ
T
β=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵JP=(α，β，x)，使
【答案解析】解析：本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．