问答题
设曲线
(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
【正确答案】[分析与证明] (Ⅰ)如图，由题设有[*]
[*]，从而[*]
[*]
令[*]于是
[*]
(Ⅱ)对题(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t=sinθ，则有
[*]
方法1° 将①式作如下变形
[*]
方法2° 将①式作如下变形
[*]
将①，②两式相加得
[*]
[*]
由连续函数定积分的比较性质可得[*]
[*]
(Ⅲ) 由[*]
[*]
为求此级数的和，考察[*]则有
[*]
取[*]
因此[*]
[*]
[*]，从而[*]
[*]
令[*]于是
[*]
(Ⅱ)对题(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t=sinθ，则有
[*]
方法1° 将①式作如下变形
[*]
方法2° 将①式作如下变形
[*]
将①，②两式相加得
[*]
[*]
由连续函数定积分的比较性质可得[*]
[*]
(Ⅲ) 由[*]
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为求此级数的和，考察[*]则有
[*]
取[*]
因此[*]
[*]
【答案解析】