【正确答案】已知Aβ=A(ξ₁+ξ₂+ξ₃)=λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+λ₃ξ₃．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有
Aβ=μβ=μ(ξ₁+ξ₂+ξ₃)=λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+λ₃ξ₃，
从而得(μ-λ₁)ξ₁+(μ-λ2)ξ₂+(μ-λ₃)ξ₃=0．
ξ₁，ξ₂，ξ₃是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，从而得λ₁=
λ₂=λ₃=μ，这和λ₁，λ₂，λ₃互不相同矛盾．故β=ξ₁+ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．

【正确答案】证法一 用线性无关的定义证．
假设有数k₁，k₂，k₃使得 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0．
由 β=ξ₁+ξ₂+ξ₃及Aξ₁=λ_iξ_i，i=1，2，3．代入得
[*]
整理得 [*]．
因ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，上式成立当且仅当
[*] (*)
又λ_i，i=1，2，3互不相同，故方程组(*)的系数行列式
[*]
故方程组(*)仅有零解，即k₁=k₂=k₃=0，所以β，Aβ，A²β线性无关．
证法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
[*]
[*]
[*]所以C是可逆阵．
故 r[β₁，Aβ，A²β]=r(考-，善z，考s)一3．因此，β，Aβ，A²β线性无关．