解答题
15.设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)
【正确答案】令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=
由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a一x0)+
，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F’(x0)(b一x0)+
，ξ2∈(x0，b)，两式相减得F(b)一F(a)=F’(x0)(b一a)+
[F"'(ξ1)+F"'(ξ2)]，即∫abf(x)dx=
[f"(ξ1)+f”(ξ2)]，因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得f”(ξ)=
[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=
由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a一x0)+，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F’(x0)(b一x0)+，ξ2∈(x0，b)，两式相减得F(b)一F(a)=F’(x0)(b一a)+[F"'(ξ1)+F"'(ξ2)]，即∫abf(x)dx=[f"(ξ1)+f”(ξ2)]，因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f”(ξ)=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=【答案解析】