问答题
设f(x)在[0，π]上连续，且
【正确答案】[证明] 令F(x)=
，F(0)=F(π)=0，由罗尔定理，存在一点θ0∈(0，π)，使得F'(θ0)=0，而F'(x)=f(x)sinx，且sinθ0≠0，所以f(θ0)=0．
假设f(x)在(0，π)内除θ0外没有零点，则f(x)在(0，θ0)与(θ0，π)内异号．
不妨设当x∈(0，θ0)时，f(x)＜0；当x∈(θ0，π)时，f(x)＞0，则
因为当x∈[0，θ0]时，f(x)sin(x-θ0)连续，f(x)sin(x-θ0)≥0且f(x)sin(x-θ0)不恒等于零，所以
；同理
，所以
．
而
，F(0)=F(π)=0，由罗尔定理，存在一点θ0∈(0，π)，使得F'(θ0)=0，而F'(x)=f(x)sinx，且sinθ0≠0，所以f(θ0)=0．假设f(x)在(0，π)内除θ0外没有零点，则f(x)在(0，θ0)与(θ0，π)内异号．
不妨设当x∈(0，θ0)时，f(x)＜0；当x∈(θ0，π)时，f(x)＞0，则
因为当x∈[0，θ0]时，f(x)sin(x-θ0)连续，f(x)sin(x-θ0)≥0且f(x)sin(x-θ0)不恒等于零，所以
；同理，所以．而
【答案解析】