【正确答案】二次型及其对应的标准形的矩阵分别为
[*]
丨A-λE丨=0[*](1-λ)²(α-λ)-16(α-λ)-8(1-λ)-32=0， (*) (*)
由对角矩阵的对角元素与原方阵特征值的关系可知，λ=5，λ=-4均为方程(*)的解，将λ=-4代入(*)中得25(α+4)-16(α+4)-72=0[*]α=4.
又λ₁+λ₂+λ₃=a₁₁+a₂₂+a₃₃，即
[*]，
故β=5，于是
[*].
(ⅰ)A的属于λ=5的特征向量.
[*]，
对应的齐次线性方程组
[*]，
ξ₁，ξ₂正交，将其单位化分别为
[*].
(ⅱ)A的属于λ=-4的特征向量.
[*]