问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，又连接(a，f(a))，(b，f(b))两点的直线和曲线y=f(x)相交于(c，f(c))，(a＜c＜b)，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)=0．
【正确答案】
【答案解析】[解] 分别在区间[a，c]及[c，b]上应用拉格朗日中值定理则存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使
但因三点(a，f(a))，(c，f(c))，(b，f(b))在一条直线上，故有
于是f"(ξ 1 )=f"(ξ 2 )．
对f"(x)在区间[ξ 1 ，ξ 2 ]上应用罗尔定理，于是存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
但因三点(a，f(a))，(c，f(c))，(b，f(b))在一条直线上，故有
于是f"(ξ 1 )=f"(ξ 2 )．
对f"(x)在区间[ξ 1 ，ξ 2 ]上应用罗尔定理，于是存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )