设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝
的圆面．若以每秒v
0
体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
[z
3
＋(z－1)
3
＋1]＝
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝
的圆面．若以每秒v
0
体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
[z
3
＋(z－1)
3
＋1]＝
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积y(t)之间的关系是 V(t)＝∫
0
z(t)
S(z)dz 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)＝π[z
2
＋(1－z)
2
]． 现由
＝v
0
及z(0)＝0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz＝v
0
dt，即[z
2
＋(1－z)
2
]dz＝
dt． (*) 两边积分并注意z(0)＝0，得
[z
3
＋(z－1)
3
＋1]＝
． (**) (Ⅱ)求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)＝z
2
＋(1－z)
2
在[0，1]上的最小值点．由 f′(z)＝2χ－2(1－z)＝
r(z)在z＝
在[0，1]上取最小值．故z＝
时水表面上升速度最大． (Ⅲ)归结求容器的体积，即 V＝∫
0
1
S(z)dz＝π∫
0
1
[z
2
＋(1－z)
2
]dχ＝
π， 因此灌满容器所需时间为
(秒)． 或由于灌满容器所需时间也就是z＝1时所对应的时间t，于是在(**)中令z＝1得
， 即t＝
＝v
0
及z(0)＝0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz＝v
0
dt，即[z
2
＋(1－z)
2
]dz＝
dt． (*) 两边积分并注意z(0)＝0，得
[z
3
＋(z－1)
3
＋1]＝
． (**) (Ⅱ)求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)＝z
2
＋(1－z)
2
在[0，1]上的最小值点．由 f′(z)＝2χ－2(1－z)＝
r(z)在z＝
在[0，1]上取最小值．故z＝
时水表面上升速度最大． (Ⅲ)归结求容器的体积，即 V＝∫
0
1
S(z)dz＝π∫
0
1
[z
2
＋(1－z)
2
]dχ＝
π， 因此灌满容器所需时间为
(秒)． 或由于灌满容器所需时间也就是z＝1时所对应的时间t，于是在(**)中令z＝1得
， 即t＝
【答案解析】