【答案解析】[解法一] 由于A ³ α+2A ² α-3Aα=0，有
A(A ² α+2Aα-3α)=0=0(A ² α+2Aα-3α)．
因为α，Aα，A ² α线性无关，故必有A ² α+2Aα-3α≠0．所以λ=0是A的特征值，而k ₁ (A ² α+2Aα-3α)(k ₁ ≠0)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．
类似地，由A ³ α+2A ² α-3Aα=0，有
(A-E)(A ² α+3Aα)=0=0(A ² α+3Aα)，
(A+3E)(A ² α-Aα)=0=0(A ² α-Aα)．
所以，λ=1是A的特征值，而k ₂ (A ² α+3Aα)(k ₂ ≠0)是属于λ=1的特征向量；λ=-3是A的特征值，而k ₃ (A ² α-Aα)(k ₃ ≠0)是属于λ=-3的特征向量．
[解法二] 由A(α，Aα，A ² α)=(Aα，A ² α，A ³ α)=(Aα，A ² α，3Aα-2A ² α)
知
由
知矩阵B的特征值是0，1，-3，亦即A的特征值是0，1，-3．
由(0E-B)x=0得基础解系β ₁ =(-3，2，1) ^T ；
(E-B)x=0得基础解系β ₂ =(0，3，1) ^T ；
(-3E-B)x=0得基础解系β ₃ =(0，-1，1) ^T ．
如Bβ=λβ有(P ^-1 AP)β=λβ，即A(Pβ)=λPβ．所以