在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
【正确答案】正确答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 Y一y=
(X—x)(y"≠0) 令Y=0，得X=x+yy"，该点到x轴法线段PQ的长度为
由题意得
即yy"=1+y
"2
． 令y"=p，则y"=
两边积分得y=
+C
1
，由y(1)=1，y"(1)=0得C
1
=0，所以y"=
变量分离得
=±dx，两边积分得
=±x+C
2
，由y(1)=1得C
2
=
1，
两式相加得
(X—x)(y"≠0) 令Y=0，得X=x+yy"，该点到x轴法线段PQ的长度为
由题意得
即yy"=1+y
"2
． 令y"=p，则y"=
两边积分得y=
+C
1
，由y(1)=1，y"(1)=0得C
1
=0，所以y"=
变量分离得
=±dx，两边积分得
=±x+C
2
，由y(1)=1得C
2
=
1，
两式相加得
【答案解析】