解答题
12.设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
【正确答案】令F(x)=ef(x)arctanx，x∈[0，1]，则F(1)=π/4．
由定积分中值定理，存在x0∈(0，2/π)，使(ef(x0)arctanx0) 2/π=1/2，即F(x0)=F(1)
显然F(x)在[x0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点
由定积分中值定理，存在x0∈(0，2/π)，使(ef(x0)arctanx0) 2/π=1/2，即F(x0)=F(1)
显然F(x)在[x0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点
【答案解析】本题考查中值问题．根据所证结论的形式，应考虑使用罗尔定理，题设条件由定积分形式给出，提示辅助函数应为被积函数．