解答题
21.设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f'(x)＞0．
(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求
(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求
【正确答案】(Ⅰ)令φ(x)=f(b)(x一a)+f(a)(b一x)一∫abf(x)dx(0≤x≤b)，
即证φ(x)在(a，b)
零点．因f(x)在[a，b]
→f(a)＜f(x)＜f(b)(x∈(a，b))→f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜f(b)(b一a)
φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx＜0，
φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx＞0，
故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)=0，即
∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ)．
Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)]，从而
即证φ(x)在(a，b)
零点．因f(x)在[a，b]→f(a)＜f(x)＜f(b)(x∈(a，b))→f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜f(b)(b一a)φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx＜0，
φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx＞0，
故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)=0，即
∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ)．
Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)]，从而
【答案解析】