问答题
设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意实数a，b均满足f(a+b)=e
a
f(b)+e
b
f(a)，又f"(0)=1，试求f(x)及f"(x)．
【正确答案】
【答案解析】[解析] 由于对任意a，b，等式f(a+b)=e
a
f(b)+e
b
f(a)均成立，故可建立微分方程．根据导数的定义，有
令a=b=0，由f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)得f(0)=0，又f"(0)=1，故
f"(x)=e x f"(0)+f(x)=e x +f(x)，
即f(x)的微分方程为
f"(x)-f(x)=e x ，
两边乘以e -x ，得
[e -x f(x)]"=1，
两边积分，得
令a=b=0，由f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)得f(0)=0，又f"(0)=1，故
f"(x)=e x f"(0)+f(x)=e x +f(x)，
即f(x)的微分方程为
f"(x)-f(x)=e x ，
两边乘以e -x ，得
[e -x f(x)]"=1，
两边积分，得