计算题
12.设一设备开机后无故障工作时间X服从参数为1／5的指数分布．设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障工作的情况下工作2小时便关机．试求设备每次开机无故障工作时间Y的分布函数．
【正确答案】依题设，Y=min(X，2}，正概率密度区间为(0，2]，其中X的分布函数为
于是，当y＜0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=0；
当y≥2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=1；
当0≤y＜2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}
=1－P{X＞y，2＞y}=1－P{2＞y}P{X＞y|2＞}
=1－P{X＞y}=1－[1－FX(y)]=1－e－1／5y．
所以Y的分布函数为
于是，当y＜0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=0；
当y≥2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=1；
当0≤y＜2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}
=1－P{X＞y，2＞y}=1－P{2＞y}P{X＞y|2＞}
=1－P{X＞y}=1－[1－FX(y)]=1－e－1／5y．
所以Y的分布函数为
【答案解析】