解答题
设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由分部积分，得
由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)-f(1)=f'(η)(x-1)，其中η∈(x，1)，
f(x)=f'(η)(x-1)两边对x从0到1积分，得
因为f'(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，
由M(x-1)≤f'(η)(x-1)≤m(x-1)两边对x从0到1积分，
由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)-f(1)=f'(η)(x-1)，其中η∈(x，1)，
f(x)=f'(η)(x-1)两边对x从0到1积分，得
因为f'(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，
由M(x-1)≤f'(η)(x-1)≤m(x-1)两边对x从0到1积分，