设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
∫
0
a
f(x)dx=af(0)+
【正确答案】正确答案：由已知 ∫
0
a
f(x)dx=∫
0
a
f(x)d(x－a) =[(x一a)f(x)]｜
0
a
一∫
0
a
(x一a)f
'
(x)dx =af(0)一∫
0
a
(x一a)f
'
(x)dx。 因为f
'
(x)连续，所以f
'
(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则 m(a一x)≤(a一x)f
'
(x)≤M(a一x)， 故
≤∫
0
a
(a一x)f
'
(x)dx≤
，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫
0
a
(a－x)f
'
(x)dx=
f
'
(x)，于是∫
0
a
f(x)dx=af(0)＋
≤∫
0
a
(a一x)f
'
(x)dx≤
，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫
0
a
(a－x)f
'
(x)dx=
f
'
(x)，于是∫
0
a
f(x)dx=af(0)＋
【答案解析】