设二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
，(b＞0)
其中A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a，b．
(2)用正交变换化f(x
1
，x
2
，x
3
)为标准型．
【正确答案】正确答案：(1)A=
由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(-2)=1，得a=1． 特征值之积=-12，即｜A｜=-12，而 ｜A｜=
=2(-2-b
2
) 得b=2(b＞0)．则
(2)｜λE-A｜=
=(λ-2)
2
(λ+3)， 得A的特征值为2(二重)和-3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解．
得(A-2E)X=0的同解方程组x
1
-2x
3
=0，求出基础解系η
1
=(0，1，0)
T
，η
2
=(2，0，1)
T
．它们正交，单位化：α
1
=η
1
，α
2
=
方程x
1
-2x
3
=0的系数向量(1，0，-2)
T
和η
1
，η
2
都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得 α
3
=
作正交矩阵Q=(α
1
，α
2
，α
3
)，则 Q
T
AQ=
由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(-2)=1，得a=1． 特征值之积=-12，即｜A｜=-12，而 ｜A｜=
=2(-2-b
2
) 得b=2(b＞0)．则
(2)｜λE-A｜=
=(λ-2)
2
(λ+3)， 得A的特征值为2(二重)和-3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解．
得(A-2E)X=0的同解方程组x
1
-2x
3
=0，求出基础解系η
1
=(0，1，0)
T
，η
2
=(2，0，1)
T
．它们正交，单位化：α
1
=η
1
，α
2
=
方程x
1
-2x
3
=0的系数向量(1，0，-2)
T
和η
1
，η
2
都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得 α
3
=
作正交矩阵Q=(α
1
，α
2
，α
3
)，则 Q
T
AQ=
【答案解析】