设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立
f(tx，ty)=t
2
f(x，y)．
问答题
证明：
【正确答案】正确答案：方程f(tx，ty)=t
2
f(x，y)两边对t求导得 xf"
1
(tx，ty)+yf"
2
(tx，ty)=2tf(x，y)， 再对t求导得， x[sf""
11
(tx,ty)+yf""
12
(tx，ty)]+y[xf"
21
(tx，ty)+yf""
22
(tx，ty)]=2f(x，y) 于是 tx[txf""
11
(tx,ty)+tyf""
12
(tx，ty)]+ty[txf""
21
(tx，ty)+tyf""
22
(tx，ty)]=2t
2
f(x，y)=2f(tx，ty) 由此得x
2
f""
xx
(x，y)+2xyf""
xy
(x，y)+y
2
f""
yy
(x，y)=2f(x，y).即结论成立.
【答案解析】
问答题
设D是由L：x
2
+y
2
=4正向一周所围成的闭区域，证明：
∮
L
f(x,y)dx=∫∫
D
div[grad f(x,y)]dσ
【正确答案】正确答案：由xf"
1
(tx，ty)+yf"
2
(tx，ty)=2tf(x，y)得 txf"
1
(tx，ty)+tyf"
2
(tx，ty)=2t
2
f(x，y)， 即xf"
x
(x，y)+yf"
x
(x，y)=2f(x，y)，又div[gradf(x，y)]=
，故
，故
【答案解析】