设总体X在[θ1，θ2]上服从均匀分布，X1，X2，…，Xn为总体X的一个简单随机样本，求
问答题     E(X(1))，D(X(1))，E(X(n))，D(X(n))，E(X(1)X(n))，cov(X(1)，X(n))。
 
【正确答案】解：记，i=1，2，…，n，则Y1，Y2，…，Yn相互独立且同服从U[0，1]，而X(i)=θ1+(θ2-θ1)Y(i)，进而有 E(X(i)=θ1+(θ2-θ1)E(Y(i))，D(X(i)=(θ2-θ1)2D(Y(i)) Y(1)的密度函数为fY(1)(y)=n[1-FY(y)]n-1fY(y)=n(1-y)n-1，0≤y≤1 Y(n)的密度函数为fY(n)(y)=n[FY(y)]n-1fY(y)=nyn-1，0≤y≤1 记(Y(1)，Y(n))的联合密度为
【答案解析】
问答题     极差 的密度函数
【正确答案】解：由于 当0≤t＜1时， 进而fY(n)-Y(1)(t)=n(n-1)tn-2(1-t)，于是的密度函数为
【答案解析】
问答题     的密度函数
【正确答案】解：由于 当0≤t＜1时， 进而 当1≤t＜2时， 进而，于是的密度函数为 当2θ1≤d＜θ1+θ2时， 当θ1+θ2≤d＜2θ2时，
【答案解析】
问答题     cov(X(n)+X(1)，X(n)-X(1))。
 
【正确答案】解：cov(X(n)+X(1)，X(n)-X(1))=cov(X(n)，X(n))-cov(X(1)，X(1)) =D(X(n))-D(X(1))=0 特别地，若总体X～U[0，θ]，θ＞0，则 注 从上例易见E(X(1))+E(X(n))=θ2+θ1，(θ2-θ1)2事实上可将其推广为E(X(k))+E(X(n+1-k))=θ2+θ1，D(X(k))=D(X(n+1-k))，1≤k≤n由于同服从U[0，1]，则对1≤k≤n，有与同分布，进而 即E(X(k))+E(X(n+1-k))=θ2+θ1，D(X(k))=D(X(n+1-k))
【答案解析】
问答题   简述充分统计量的定义，样本均值是不是正态总体均值的充分统计量?为什么?
 
【正确答案】解：(定义略)设总体X～N(μ，σ2)，记θ=(μ，σ2)，则X1，X2，…，Xn的联合密度为 取，h(x1，x2，…，xn)=1，则有 由因子分解定理知：是充分统计量。进一步，与是一一对应，故样本均值是正态均值的充分统计量。 取c(θ)=(2πσ2)-n/2e-nμ2/(2σ2)，，则与S2为充分完备统计量。
【答案解析】
问答题   设X1，X2，…，X9是来自标准正态总体X的简单随机样本，而
   
【正确答案】证明：由X1，X2，…，X9是来自标准正态总体X的简单随机样本可得，X1，X2，…，X9是相互独立的，并且都服从标准正态分布，Y1，Y2也是相互独立的。而 对任给的-∞＜a，B＜+∞，c＞0， P(Y1≤a，Y2≤b，S2≤c)=P((Y1≤a)∩(Y2≤b，S2≤c)) =P(Y1≤a)P(Y2≤b，S2≤c)=P(Y1≤a)P(Y2≤b)P(S2≤c) 则Y1，Y2，S2相互独立，进而Y1-Y2与S2独立，则，即。
【答案解析】