【正确答案】 B

【答案解析】[解析] 证明(B)正确．因f'(x)在(a，b)上有界，故知存在M＞0，对于(a，b)上的一切x，|f'(x)|≤M．对于(a，b)上任意的x及固定的x₀，用拉格朗日中值定理，有
f'(x)=f(x₀)+f'(ξ)(x-x₀)，
|f(x)|≤|f(x₀)|+M(b-a)．
其中f'(x₀)为一定值，故存在N，当x∈(a，b)时，|f(x)|≤N．
说明f(x)在(a，b)上有界．
[评注] (1)证明f(x)有界的关键点是f'(x)有界并且区间(a，b)的长度有限．
(2)下面举例说明(A)、(C)、(D)不正确．
(A)的反例[*]，x∈(0，1)．
(C)的反例：f(x)=x，x∈(a，b)，|f(x)|≤max{|a|，|b|}，f(x)在(a，b)上有界．f'(x)=1在(a，b)上不是无界．(C)不正确．
由于(B)正确，(D)当然不正确．
(3)在有限区间上，f(x)或f'(x)中以有界作为条件，那么只有(B)是正确的．即：
设f'(x)在(a，b)上有界，则f(x)在(a，b)上有界．
在有限区间上，f(x)或f'(x)中以无界作为条件，那么也只有下述命题是正确的：
设f(x)在(a，b)上无界，则f'(x)在(a，b)上必无界．事实上，本命题就是上述命题的逆否命题．