问答题
若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y=X
lnX
的概率密度函数．
【正确答案】
【答案解析】[解法一] 本题是属于“已知随机变量X的分布，求X函数Y=g(X)分布”的题型，只不过函数的形式是Y=g(X)=φ(X)
ψ(X)
．类似于求φ(x)
ψ(x)
导数的方法，可以在等式两边求对数或化为e
ψ(x)lnφ(x)
形式进行求解，我们仍然运用分布函数法来解答本题．
已知X的密度函数为
Y=X
lnX
=e
(lnX)2
=e
Z
，其中Z=(lnX)
2
．若记Z的分布函数为F
Z
(z)，则当z≤0时，F
Z
(z)=0；当z＞0时，由于X在(0，1)上取值，因而有
即Z的分布函数为
因而Y=e Z 的分布函数为
F Y (y)=P{Y≤y}=P{e Z ≤y}，
其中Z=(lnX) 2 的取值是非负的．因而当y≤1时，F Y (y)=0；当y＞1时，
F Y (y)=P{0＜Z≤lny}=F Z (lny)-F Z (0)=
．
故所求的Y的概率密度函数为
[解法二] F Y (y)=P{Y≤y}=P{X lnX ≤y}=P{e (lnX)2 ≤y}．
当y≤1时，F Y (y)=0；当y＞1时，由于X在(0，1)上取值，故有
从而Y的分布函数为
于是Y的密度函数
已知X的密度函数为
Y=X
lnX
=e
(lnX)2
=e
Z
，其中Z=(lnX)
2
．若记Z的分布函数为F
Z
(z)，则当z≤0时，F
Z
(z)=0；当z＞0时，由于X在(0，1)上取值，因而有
即Z的分布函数为
因而Y=e Z 的分布函数为
F Y (y)=P{Y≤y}=P{e Z ≤y}，
其中Z=(lnX) 2 的取值是非负的．因而当y≤1时，F Y (y)=0；当y＞1时，
F Y (y)=P{0＜Z≤lny}=F Z (lny)-F Z (0)=
．
故所求的Y的概率密度函数为
[解法二] F Y (y)=P{Y≤y}=P{X lnX ≤y}=P{e (lnX)2 ≤y}．
当y≤1时，F Y (y)=0；当y＞1时，由于X在(0，1)上取值，故有
从而Y的分布函数为
于是Y的密度函数