问答题
求函数f(x，y)=e
x
(x
2
+2y
2
)的极值与极值点。
【正确答案】
【答案解析】求偏导数f"
x
，f"
y
，得
f" x (x，y)=e x (x 2 +2y 2 )+e x ·2x
=e x (x 2 +2x+2y 2 )，
f" y (x，y)=e x (4y)，
解方程组
得
所以(0，0)和(-2，0)为函数可能的极值点。
再求二阶偏导数在(0，0)点的值：
A=f" xx (o，o)=2，B=f" xy (0，0)=0，C=f" yy (0，0)=4，
计算B 2 -AC=0-2×4=-8＜0，A=2＞0。
因为B 2 -AC＜0，A＞0，所以(0，0)为函数f(x，y)=e x (x 2 +2y 2 )的极小值点，极小值为f(0，0)=0。
再求二阶偏导数在(-2，0)处的值：
A 1 =f" xx (-2，0)=-2e -2 ，B 1 =f" xy (-2，0)=0，C 1 =f" yy (-2，0)=4e -2 ，
f" x (x，y)=e x (x 2 +2y 2 )+e x ·2x
=e x (x 2 +2x+2y 2 )，
f" y (x，y)=e x (4y)，
解方程组
得
所以(0，0)和(-2，0)为函数可能的极值点。
再求二阶偏导数在(0，0)点的值：
A=f" xx (o，o)=2，B=f" xy (0，0)=0，C=f" yy (0，0)=4，
计算B 2 -AC=0-2×4=-8＜0，A=2＞0。
因为B 2 -AC＜0，A＞0，所以(0，0)为函数f(x，y)=e x (x 2 +2y 2 )的极小值点，极小值为f(0，0)=0。
再求二阶偏导数在(-2，0)处的值：
A 1 =f" xx (-2，0)=-2e -2 ，B 1 =f" xy (-2，0)=0，C 1 =f" yy (-2，0)=4e -2 ，