问答题
证明：A～B，其中
【正确答案】
【答案解析】【证】由A知，A的全部特征值是1，2．…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．
由于λ 1 =1时，(λ 1 E-A)X=0，有特征向量ξ 1 =[1，0，…，0] T ；
λ 2 =2时，(λ 2 E-A)X=0，有特征向量ξ 2 =[0，1，…，0] T ；
……
λ n =n时，(λ n E-A)X=0，有特征向量ξ n =[0，0，…，1] T ．
故有 Aξ n =nξ n ，Aξ n-1 =(n-1)ξ n-1 ，…，Aξ 1 =ξ 1 ．
即
故得可逆阵
由于λ 1 =1时，(λ 1 E-A)X=0，有特征向量ξ 1 =[1，0，…，0] T ；
λ 2 =2时，(λ 2 E-A)X=0，有特征向量ξ 2 =[0，1，…，0] T ；
……
λ n =n时，(λ n E-A)X=0，有特征向量ξ n =[0，0，…，1] T ．
故有 Aξ n =nξ n ，Aξ n-1 =(n-1)ξ n-1 ，…，Aξ 1 =ξ 1 ．
即
故得可逆阵