解答题
18.设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导且f(a)≠f(b)，试证明存在η，ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】根据题设条件并由拉格朗日中值定理知，存在一点η∈(a，b)，使得
f(b)－f(a)＝f′(η)(b－a)。
令g(χ)＝χ2，g(χ)在(－∞，＋∞)上连续且可导，则由柯西中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得
所以f(b)－f(a)＝
(b2－a2)，
则f′(η)(b－a)＝
(b2－a2)，
即
f(b)－f(a)＝f′(η)(b－a)。
令g(χ)＝χ2，g(χ)在(－∞，＋∞)上连续且可导，则由柯西中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得
所以f(b)－f(a)＝
(b2－a2)，则f′(η)(b－a)＝
(b2－a2)，即
【答案解析】