问答题
设A为n阶矩阵，A
11
≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A
*
b=0．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A
*
b=A
*
AX=|A|X=0．
反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A 11 ≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．
因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 为方程组A * X=0的一组解向量．
由A 11 ≠0，得α 2 ，…，α n 线性无关，所以α 2 ，…，α n 是方程组A * X=0的基础解系．
因为A * b=0，所以b可由α 2 ，…，α n 线性表示，也可由α 1 ，α 2 ，…，α n 线性表示，故r(A)=
反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A 11 ≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．
因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 为方程组A * X=0的一组解向量．
由A 11 ≠0，得α 2 ，…，α n 线性无关，所以α 2 ，…，α n 是方程组A * X=0的基础解系．
因为A * b=0，所以b可由α 2 ，…，α n 线性表示，也可由α 1 ，α 2 ，…，α n 线性表示，故r(A)=