解答题
21.设三角形三边的长分别为a、b、c，此三角形的面积为S．求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．
【正确答案】设P为三角形内的任意一点，该点到边长分别为a、b、c的边的距离分别为x、y、z．由三角形的面积公式有
cz=S．
求f=xyz在约束条件ax+by+cz－2S=0下的最大值，令
W=xyz+λ(ax+by+cz－2S)，
由拉格朗日乘数法，
解得唯一驻点为x=
．显然，当P位于三角形的边界上时，f=0，为最小值；
当P位于三角形内部时，f存在最大值，由于驻点唯一，故当x=
时，f最大，
cz=S．求f=xyz在约束条件ax+by+cz－2S=0下的最大值，令
W=xyz+λ(ax+by+cz－2S)，
由拉格朗日乘数法，
解得唯一驻点为x=
．显然，当P位于三角形的边界上时，f=0，为最小值；当P位于三角形内部时，f存在最大值，由于驻点唯一，故当x=
时，f最大，【答案解析】