解答题
16.设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．
(Ⅰ)证明：存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；
(Ⅱ)若α1=(1，－2，3)T，α2=(2，1，1)T，β1=(－2，1，4)T，β2=(－5，－3，5)T．求既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的所有非零向量ξ．
(Ⅰ)证明：存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；
(Ⅱ)若α1=(1，－2，3)T，α2=(2，1，1)T，β1=(－2，1，4)T，β2=(－5，－3，5)T．求既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的所有非零向量ξ．
【正确答案】(Ⅰ)因α1，α2，β1，β2均是3维向量，4个3维向量必线性相关，由定义知，存在不全为零的数k1，k2，λ1，λ2，使得
k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
得 k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2．
取 ξ=k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2，
若ξ=0，则 k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2=0．
因α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关，从而得出k1=k2=0，且λ1=λ2=0，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量．
(Ⅱ)设ξ=k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2，则得齐次线性方程组 k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
将α1，α2，β1，β2合并成矩阵，并作初等行变换得
(α1，α2，β1，β2)=
解得 (k1，k2，λ1，λ2)=k(－1，2，－1，1)．
故既可由α1，α2线性表出，又可以由β1，β2线性表出的所有非零向量为
ξ=k1α1+k2α2=－kα1+2kα2=－k
，其中k是任意的非零常数
(或ξ=－λ1β1－λ2β2=kβ1－kβ2=k
k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
得 k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2．
取 ξ=k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2，
若ξ=0，则 k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2=0．
因α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关，从而得出k1=k2=0，且λ1=λ2=0，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量．
(Ⅱ)设ξ=k1α1+k2α2=－λ1β1－λ2β2，则得齐次线性方程组 k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
将α1，α2，β1，β2合并成矩阵，并作初等行变换得
(α1，α2，β1，β2)=
解得 (k1，k2，λ1，λ2)=k(－1，2，－1，1)．
故既可由α1，α2线性表出，又可以由β1，β2线性表出的所有非零向量为
ξ=k1α1+k2α2=－kα1+2kα2=－k
，其中k是任意的非零常数(或ξ=－λ1β1－λ2β2=kβ1－kβ2=k
【答案解析】