设f(χ)在[1，＋∞)内可导，f′(χ)＜0且，
f(χ)＝a＞0，令a
n
＝
f(k)－∫
1
n
f(χ)dχ．证明：(a
n
)收敛且0≤
f(χ)＝a＞0，令a
n
＝
f(k)－∫
1
n
f(χ)dχ．证明：(a
n
)收敛且0≤
【正确答案】正确答案：因为f′(χ)＜0，所以f(χ)单调减少． 又因为a
n+1
－a
n
＝f(n＋1)－∫
n
n+1
f(χ)dχ＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])， 所以{a
n
}单调减少． 因为a
n
＝
[f(k)－f(χ)]dχ＋f(n)，而∫
k
k+1
[f(k)－f(χ)]dχ≥0(k＝1，2，…，n－1) 且
f(χ)＝a＞0，所以存在X＞0，当χ＞X时，f(χ)＞0． 由f(χ)单调递减得f(χ)＞0(χ∈[1，＋∞))，故a
n
≥f(n)＞0，所以
存在． 由a
n
＝f(1)＋[f(2)－∫
1
2
f(χ)dχ]＋…＋[f(n)－∫
n-1
n
f(χ)dχ]， 而f(k)＝∫
k-1
k
f(χ)dχ≤0(k＝2，3，…，n)，所以a
n
≤f(1)，从而0≤
[f(k)－f(χ)]dχ＋f(n)，而∫
k
k+1
[f(k)－f(χ)]dχ≥0(k＝1，2，…，n－1) 且
f(χ)＝a＞0，所以存在X＞0，当χ＞X时，f(χ)＞0． 由f(χ)单调递减得f(χ)＞0(χ∈[1，＋∞))，故a
n
≥f(n)＞0，所以
存在． 由a
n
＝f(1)＋[f(2)－∫
1
2
f(χ)dχ]＋…＋[f(n)－∫
n-1
n
f(χ)dχ]， 而f(k)＝∫
k-1
k
f(χ)dχ≤0(k＝2，3，…，n)，所以a
n
≤f(1)，从而0≤
【答案解析】