已知曲线L的方程
【正确答案】正确答案：(1)因为
故曲线L当f≥0时是凸的． (2)由(1)知，切线方程为y－0＝
(x＋1)，设x
0
＝t
0
2
＋1，y
0
＝4t
0
－t
0
2
，则(fi＋2)，即4t
0
—t
0
2
＝
(2－t
0
)(t
0
2
＋2)，整理得t
0
2
＋t
0
－2＝0→(t
0
－1)(t
0
＋2)＝0→t
0
＝1，t
0
＝－2(舍去)．将t
0
＝1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为 y－3＝
(x－2)，即y＝x＋1． (3)由题设可知，所水平面图形如图1—2—1所示，其中各点坐标为A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(－1，0)， 设L的方程x＝g(y)，则S＝∫
0
3
[g(y)－(y－1)]dy 由参数方程可得
由于C(2，3)在L上，则x＝g(y)＝
于是
故曲线L当f≥0时是凸的． (2)由(1)知，切线方程为y－0＝
(x＋1)，设x
0
＝t
0
2
＋1，y
0
＝4t
0
－t
0
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，则(fi＋2)，即4t
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—t
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2
＝
(2－t
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)(t
0
2
＋2)，整理得t
0
2
＋t
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－2＝0→(t
0
－1)(t
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＋2)＝0→t
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＝1，t
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＝－2(舍去)．将t
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＝1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为 y－3＝
(x－2)，即y＝x＋1． (3)由题设可知，所水平面图形如图1—2—1所示，其中各点坐标为A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(－1，0)， 设L的方程x＝g(y)，则S＝∫
0
3
[g(y)－(y－1)]dy 由参数方程可得
由于C(2，3)在L上，则x＝g(y)＝
于是
【答案解析】解析：[分析] (1)利用曲线凹凸的定义来判定；(2)先写出切线方程，然后利用(－1，0)在切线上；(3)利用定积分计算平面图形的面积． [评注] 本题为基本题型，第(3)问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解．